Retas Reversas

Duas retas r e s são reversas se não existe nenhum plano que as contém simultaneamente. Em outras palavras, além delas nunca se interceptarem (o que também é o caso quando as retas são paralelas), seus vetores diretores também não podem ser paralelos.

Para verificar se duas retas r e s são reversas, tome um ponto qualquer da reta r e um ponto qualquer da reta s. Para fixar idéias, tenha em mente o exemplo ilustrado na Figura 1.

Figura 1 - Pontos e escolhidos em r e s , respectivamente.
Equação da reta r ( vermelha ) : (1 + 2 t , 3 + 4 t , 5 + t )
Equação da reta s ( azul ): (1 + 2 t , -1 + 2 t , - 3 + t )

Defina a partir desses pontos o vetor . Sejam e os vetores diretores respectivos das retas r e s . Se , e não forem coplanares, então não existe um plano que contenha as duas retas, logo elas são reversas.

Figura 2 - Retas reversas r e s , seus vetores diretores ( vermelho ) e ( azul ), e o vetor ( cinza )

Vemos na Figura 2 que não existe nenhum plano que contenha os três vetores.

Para verificar algebricamente se os vetores são coplanares, verificamos se o seu produto misto é zero ou não. Lembre-se que o módulo do produto misto de três vetores dá o volume do paralelepípedo determinado por estes três vetores. Se ele for igual a zero, isso significa que os vetores não determinam um paralelepípedo, e isso só pode acontecer porque eles são coplanares, pois três vetores que não estão todos no mesmo plano sempre determinam um paralelepípedo. Portanto, escrevendo os vetores em coordenadas:

pois = = (1, -1, 3) - (1, 3, 5) = (0, -4, -2), obtemos

e portanto as retas r e s são reversas.