Distância entre um Ponto e um Plano

Dados um ponto P e um plano no espaço, a distância entre P e o plano é definida como a menor distância possível entre P e um ponto do plano. O ponto do plano que se situa a menor distância de P é exatamente aquele que se encontra na interseção da reta passando por P que é perpendicular ao plano. Portanto, a distância do ponto P ao plano é o comprimento do segmento de reta entre estes dois pontos.

Vamos obter um método para encontrar a distância entre o ponto P e o plano . Para fixar idéias, tenha em mente o exemplo ilustrado na Figura 1.

Figura 1 - Ponto P = (1, 2, 3) e plano : 2 x + z = 30

Escolha um ponto qualquer Q pertencente ao plano e considere o vetor PQ .

Figura 2 - Ponto Q = (10,10,10) e vetor PQ : (9, 8, 7) .

Podemos ver que o vetor PQ tem duas componentes: uma está contida no plano enquanto que a outra tem a mesma direção da normal ao plano (veja a Figura 3; para melhor visualização, mudamos a posição de onde vemos o ponto e o plano ). A componente na direção da normal (e que, portanto, é perpendicular ao plano) tem comprimento justamente igual à distância procurada. Assim, para encontrar o valor da distância entre P e , basta calcular a norma da projeção de PQ sobre o vetor normal N ao plano .

Figura 3 - Componentes do vetor PQ (em preto): componente paralela ao plano em vermelho ;

componente paralela à normal em violeta

Usando a fórmula para o vetor projeção ortogonal, temos: