6.1- Diagonalização
Nesta seção, utilizaremos alguns comandos do pacote GAAL para fazermos a diagonalização de matrizes. No quadro abaixo listaremos estes comandos e mostraremos nos exemplos seguintes como utilizá-los.
Comando |
Descrição
|
syms x,y |
Diz ao MATLAB que as variáveis x e y são simbólicas |
solve(expr) |
Determina a solução da equação expr=0 |
eye(n) |
Cria um matriz
identidade nxn |
escalona(A) |
Escalona a matriz A |
det(B) |
Calcula o
determinante da matriz B |
subs(expr,x,num) |
Substitui na
expressão expr a variável x por num. |
[P,D]=diagonal(A) |
Diagonaliza a
matriz A, de forma que AP=PD, em que D é uma matriz diagonal e P é uma matriz
ortogonal |
simplify(expr) |
Simplifica a expressão expr |
Exemplo 1: Ache o
polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz abaixo:
EDU» A=[1 1;1 1]; % declaração da matriz A
EDU»
syms x % diz ao MATLAB que a variável x é simbólica.
EDU»
B=A-x*eye(2) % a matriz B recebe a matriz
A subtraída da matriz identidade 2x2
multiplicada por x.
B =
[ 1-x, 1]
[
1, 1-x]
EDU»
p=det(B) %cálculo do determinante para encontrar o
polinômio característico.
p =
-2*x+x^2
EDU»
solve(p) % raízes do polinômio característico, que são os autovalores.
ans
=
[
0]
[
2]
EDU»
B0=subs(B,x,0) % substitui na matriz B a
variável x por 0
B0
=
[
1, 1]
[
1, 1]
EDU»
escalona(B0) % autovetores associado ao
autovalor 0
[
1, 1]
[
1, 1]
eliminação
1:
(-1)*linha
1 + linha 2 ==> linha 2
[
1, 1]
[
0, 0]
Continua
? (s/n) s
Fim
ans
=
[
1, 1]
[
0, 0]
EDU»
B2=subs(B,x,2) % substitui na matriz B a
variável x por 2
B2
=
[
-1, 1]
[ 1, -1]
EDU»
escalona(B2) % cálculo dos autovetores
associado ao autovalor 2
[
-1, 1]
[ 1, -1]
eliminação
1:
(-1)*linha
1 ==> linha 1
[ 1, -1]
[ 1, -1]
Continua
? (s/n) s
(-1)*linha
1 + linha 2 ==> linha 2
[ 1, -1]
[ 0,
0]
Continua
? (s/n) s
Fim
ans
=
[ 1, -1]
[ 0,
0]
Portanto,
os autovetores associados aos autovalor 0 são:
V={(-
,
)| 
R},
e
os autovetores associados ao autovalor 2 são:
V={(
,
)| 
R}
6.2- Identificação de Cônicas
Na
tabela abaixo, mostramos os comandos gráficos do pacote GAAL que nos permite
visualizarmos cônicas.
Comando |
Descrição
|
Elipse(a,b) |
Desenha a elipse x2/a2 + y2/b2
=1
|
Elipse(a,b,[U1 U2])
|
Desenha a elipse x’2/a2 + y’2/b2 =1, em que x’ e y’ são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 |
Elipse(a,b,[U1
U2],X0)
|
Desenha a elipse
x’’2/a2 + y’’2/b2 =1, em que x’’ e
y’’ são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela
base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. |
Hiperbx(a,b) |
Desenha a hipérbole x2/a2 – y2/b2
=1 |
Hiperbx(a,b,[U1 U2])
|
Desenha a hipérbole
x’2/a2 - y’2/b2 =1, em que x’ e
y’ são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 |
Hiperbx(a,b,[U1
U2],X0)
|
Desenha a
hipérbole x’’2/a2
- y’’2/b2 =1, em que x’’ e y’’ são as coordenadas em
relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo
ponto X0. |
Hiperby(a,b) |
Desenha a hipérbole
y2/a2 – x2/b2 =1 |
Hiperby(a,b,[U1 U2]) |
Desenha a hipérbole
y’2/a2 - x’2/b2 =1, em que x’ e
y’ são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 |
Hiperby(a,b,[U1
U2],X0)
|
Desenha a hipérbole
y’’2/a2 – x’’2/b2
=1, em que x’’ e y’’ são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas
determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0. |
Parabx(a,b) |
Desenha a parábola y2=4px |
Parabx(p,[U1 U2])
|
Desenha a parábola
y’2=4px’, em que x’ e y’ são as coordenadas em relação à base
ortonormal U1 e U2 |
Parabx(p,[U1 U2],X0)
|
Desenha a parábola
y’’2=4px’’, em que x’’ e y’’ são as coordenadas em relação ao
sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0 |
Paraby(a,b) |
Desenha a parábola
x2=4py |
Paraby(p,[U1 U2])
|
Desenha a parábola
x’2=4py’, em que x’ e y’ são as coordenadas em relação à base
ortonormal U1 e U2 |
Paraby(p,[U1 U2],X0)
|
Desenha a parábola
x’’2=4py’’, em que x’’ e y’’ são as coordenadas em relação ao
sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0 |
Exemplo 2: Identifique
a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço
do gráfico.
9x2 – 4xy +6y2
= 30
EDU»
A=[9 -2; -2 6]; % declaração da matriz A
EDU»
syms x y; % variáveis x e y são
simbólicas
EDU»
X=[x;y]; % vetor X que contém as duas
variáveis simbólicas
EDU»
expr=simplify(X.'*A*X-30) % simplifica a expressão
inicial
expr =
9*x^2-4*x*y+6*y^2-30
EDU»
[P,D]=diagonal(A) % encontra uma matriz diagonal D e uma matriz ortogonal
P
P
=
[ 1/5*5^(1/2), -2/5*5^(1/2)]
[ 2/5*5^(1/2), 1/5*5^(1/2)]
D
=
[ 5,
0]
[ 0, 10]
EDU»
syms x1 y1; % variáveis x1 e y1 são simbólicas
EDU»
X1=[x1;y1]; % vetor que armazena as
variáveis x1 e y1
EDU»
expr=subst(expr,X,P*X1) % substitui em expr P*X1 no
lugar de X
expr =
5*x1^2+10*y1^2-30
EDU»
expr=expr/30 % divide a expressão por 30
expr =
1/6*x1^2+1/3*y1^2-1
EDU»
elipse(sqrt(6),sqrt(3),P) %desenha a elipse
