Grandes desvios e mecânica estatística

Prerequisitos: Probabilidade 1.

1. Introdução: Descrição probabilística dos grandes sistemas de partículas: valores médios de observáveis macroscópicas. A medida microcanônica. Lei dos grandes números e concentração exponencial para variáveis independentes de Bernoulli.
2. Entropia de Shannon Informação, distribuições de entropia máxima. Distribuição de Gibbs associada a um potencial.
3. O Teorema de Sanov Medidas empíricas, entropia relativa e o Teorema de Sanov para alfabetos finitos: sequências i.i.d. e cadeias de Markov. Aplicações: 1) O princípio de condicionamento de Gibbs. 2) O gás ideal: distribuição de Maxwell-Boltzmann e equivalência.
4. O princípio de grandes desvios (PGD). Lema de Varadhan, PGD para medidas ¨tilted¨. Princípio de contração. Aplicação: o modelo de Curie-Weiss, energia livre.
5. O Teorema de Crámer: Para variáveis i.i.d. reais e em espaços de Banach.
6. Medidas de Gibbs: Equilíbrio de um sistema infinito de partículas: problemática. Specificações, medidas associadas. Specificações quasilocais e existência. Critério de Dobrushin. Aplicação: Specificações Gibbsianas.
7. Modelo de Ising: Definição em volume finito. Desigualdades GKS e FKG. O limite termodinâmico. Convergência fraca. As medidas de Gibbs extremais µ⁺ e µ^-. Temperaturas altas: unicidade. Temperaturas baixas: não-unicidade. Diagrame de fases.
8. Princípio variacional: Medidas invariantes por translações. Entropia de uma medida invariante. Entropia relativa específica com respeito a uma medida de Gibbs. Caracterização variacional das medidas de associadas a uma especificação de Gibbs.
9. PGD de nível 3 vs Princípio variacional: PGD para a medida livre, Lema de Varadhan e energia livre.

Referências bibliográficas:

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