Teoria da Medida

Prerequisitos: Análise 1, elementos de topologia.

• Introdução: A integral de Riemann e a ideia original de Lebesgue. Necessidade da medida. Construção da medida de Lebesgue em [0,1].
• σ-álgebras e medidas: Critério de unicidade. O Teorema de Extensão de Carathéodory. Medida de Lebesgue-Stieltjes em R e medida de Lebesgue em Rⁿ.
• Integrar com respeito a uma medida: Mensurabilidade. Integrar funções simples. Integrar funções mensuráveis positivas. Teorema da Convergência Monótona, consequências, Lema de Fatou. Propriedades verdadeiras em quase todo ponto, continuidade absoluta. Funções integráveis, propriedades. Integrar com respeito á medida de Lebesgue, e ligação com a integral de Riemann. Integrais impróprias, fórmula de mudança de variáveis. Integrais dependendo de um parâmetro. Parêntese: Teoria da medida e Probabilidades.
• Espaços L^p: Espaço das funções p-integráveis. Desigualdades de Hölder, de Cauchy-Schwartz e de Minkowski. Norma L^p e convergência. Os espaços L^p são espaços de Banach. Observações sobre os casos p=2 e p=∞.
• Sequências e aproximações: Convergência pontual e uniforme. Convergência em quase todo ponto (qtp) e em medida. Implicações. Convergência na norma L^p. Teoremas de densidade em L^p. Teoremas de Egorov e Lusin.
• Espaços Produtos. Produto cartesiano, medida produto. A medida de Lebesgue em Rⁿ. Teorema de Fubini-Tonelli. Aplicações.
• Decomposição e Derivação: Motivação: densidade de uma medida com respeito á medida de Lebesgue em Rⁿ. Cargas e decomposição de Hahn. Teorema de Radon-Nikodým. Decomposição de Lebesgue. Aplicação: a esperança condicional em probabilidade Dualidade L^p-L^q, Teorema de Riesz. Teorema de Derivação de Lebesgue: pontos de densidade e conjuntos mensuráveis em Rⁿ. O Teorema Fundamental da Análise.

Notas de aula em francês (Notes de cours en français) se encontram aqui (ici).

Referências bibliográficas:

• Bartle R.G., The elements of integration, John Wiley and Sons, 1966.
• Billingsley P., Probability and measure, Wiley, New York, 1995.
• Bogachev V.I. , Measure Theory (volume 1 and 2), Springer-Verlag, 2007.
• de la Vallée-Poussin C.-J., Intégrales de Lebesgue, fonctions d'ensembles, classes de Baire, Gauthier-Villars, Paris, 1934.
• Folland G.B., Real analysis, John Wiley and Sons, 1999.
• Kolmogorov A. et Fomine S., Éléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle, Éditions MIR, Moscou, 1974.
• Lebesgue H.L., Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Masson et Cie, Paris, 1964.
• Rudin W., Analyse réelle et complexe, Masson et Cie, Paris, 1978.

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