Cálculo Diferencial e Integral II - MAT-039

Projetos

2o Semestre de 1999

2  Cônicas, Coordenadas Polares, Funções de Várias Variáveis

2.1  Área do segmento parabólico

Considere a área limitada por uma parábola e uma reta paralela a sua diretriz (interceptando a parábola em 2 pontos). Calcule a área da figura em termos de b, o comprimento da base da figura formada e h a distância do vértice à reta. Explique o cálculo de Arquimedes para esta área (ver Simmons).

2.2  Propriedade reflexiva das parábolas

Descreva, desenhe e demonstre a propriedade reflexiva das parábolas. Liste algumas aplicações. (veja a página 122 do livro e os exercí cios 39 e 40 da pag 125)

2.3  Propriedade de reflexão das elipses

Descreva, desenhe e demonstre a propriedade reflexiva das elipses. (veja a página 135 do livro).

2.4  Propriedade reflexiva das hipérboles

Descreva, desenhe e demonstre a propriedade reflexiva das hipérboles. (veja a página 148 do livro e o Exercí cio 43 - pag 150)

2.5  Sistema de Navegação

Descreva os detalhes e ilustre o sistema LORAN. (veja a página 147 do livro).

2.6  Famí lia de elipses e hipérboles confocais

Considere as seguintes equações:
x
=
c   cos
q  cosh
z
y
=
c   sen
q  senh
z

  1. Mostre que para cada z fixado obtem-se uma elipse e que para cada q fixado obtem-se uma hipérbole.

  2. Mostre que todas as elipses e hipérboles acima são confocais.

  3. Mostre que cada elipse e hipérbole se interceptam ortogonalmente (suas tangentes são perpendiculares).

  4. Faça um desenho ilustrando.

2.7  Problema de Kepler

Mostre que a lei de gravitação implica em movimento sobre cônicas. Faça um levantamento das excentricidades conhecidas de algumas das trajetórias de corpos celestes e construa (desenhe) um modelo em escala.

2.8  Superfí cies regradas: Hiperbolóide de uma folha

Defina. Mostre que o Hiperbolóide de uma folha é uma superfí cie regrada. Faça um desenho. Existem outros exemplos?

2.9  Superfí cies regradas: Parabolóide hiperbólico

Defina. Mostre que o Parabolóide hiperbólico é uma superfí cie regrada. Faça um desenho. Existem outros exemplos?

2.10  Levantamentos topográficos

Consiga o levantamento topográfico (em curvas de ní vel) de algum terreno ou região. Reconstrua o relevo em 3-d a partir deste levantamento.

2.11  Trigonometria Hiperbólica

Explique as definições de seno e coseno hiperbólico a partir da hipérbole e da definição de ângulo hiperbólico.

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