A Equação Geral do Plano

A equação geral do plano

Suponha que tenhamos um plano no espaço, de vetor normal e passando pelo ponto . A figura abaixo mostra este plano em amarelo e o vetor N .

É claro que se um ponto do espaço está neste plano, então o vetor deve ser perpendicular a N . Sendo assim, podemos descrever como sendo o conjunto de pontos P do espaço que resolvem a equação vetorial

A figura abaixo mostra o plano em amarelo, o vetor N em azul e um vetor em preto, com P em .

Escrevendo os vetores em coordenadas, temos

Portanto, a equação vetorial N . corresponde à equação cartesiana

Daí, tomando , obtemos a assim chamada equação geral do plano :

A equação do plano determinado por 3 pontos não-colineares

Com as idéias desenvolvidas na primeira seção, podemos determinar a equação de um plano que passa por 3 pontos não-colineares no espaço. A única informação que precisamos obter são as coordenadas de um vetor normal ao plano determinado por estes 3 pontos.

Suponha que tenhamos 3 pontos e no espaço. Podemos, então, formar os vetores e , que são mostrados na figura abaixo ( em preto e em vermelho).

Note que estes vetores devem ser paralelos ao plano determinado por A , B e C , tal como mostramos na figura abaixo.

Sendo assim, o vetor normal N do plano deve ser perpendicular a ambos AB e AC . Podemos, então, tomar N=AB x AC . Como A , B e C não são colineares, este produto vetorial é não nulo. A figura abaixo mostra N em azul.

Observe que este vetor é normal ao plano procurado, tal como mostramos na figura abaixo.

Como já temos o normal N , podemos escolher um ponto pelo qual o plano passe dentre qualquer um dos 3 pontos dados. Tomando o ponto A , por exemplo, a equação do plano que passa pelos pontos A , B e C será

A equação do plano determinado por um ponto e uma reta

Suponha que temos uma reta r e um ponto fora dela tal como na figura abaixo.

Como podemos obter a equação do plano que é determinado por este ponto e por esta reta? Se formos nos basear na equação geral que deduzimos para um plano, novamente o problema consiste em obter um vetor normal para este plano.

Para isso, primeiramente formamos um vetor partindo de um ponto qualquer da reta até o ponto tal como na figura abaixo.

Formando o produto vetorial entre este vetor e o vetor diretor da reta (exibido em vermelho na figura abaixo), obtemos um vetor perpendicular a ambos. Este vetor será o vetor normal N (em verde) do plano procurado.

Como o nosso plano deve passar pelo ponto , concluímos que sua equação será

Abaixo, exibimos o plano passando pela reta r e pelo ponto .