Ângulos

1. Ângulo entre Vetores No Espaço

Dois vetores no espaço formam dois ângulos entre si cuja soma é . Para ver isso, lembre-se que dois vetores não paralelos determinam um plano no espaço, logo podemos enxergá-los neste plano que os contém; escolha representantes destes vetores com o mesmo ponto inicial e então é fácil ver que as duas semi-retas que contêm estes vetores determinam dois ângulos cuja soma é . Definimos o ângulo entre os dois vetores como sendo o menor destes dois ângulos. Por esse motivo, o ângulo entre dois vetores tem sempre um valor entre 0 e , inclusive. Se os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, o ângulo entre eles é igual a 0, enquanto que se eles são paralelos mas de sentidos opostos, então o ângulo entre eles é igual a .

Usando o produto escalar, pode-se calcular precisamente o ângulo entre dois vetores v e w conhecidos. Como

segue que o ângulo entre os vetores v e w é dado por

Veja os exemplos a seguir:

Figura 1 - Os vetores vermelho e azul formam um ângulo agudo

Figura 2 - Estes vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, logo formam um ângulo igual a zero.

Usaremos isso para calcular nas próximas seções os ângulos entre duas retas, entre dois planos e entre uma reta e um plano.

2. Ângulo entre Duas Retas

Duas retas que se interceptam determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre elas é definido como sendo o menor destes ângulos. Se as retas e são reversas, então existe um ponto P de por onde passa uma reta paralela a . O ângulo entre e é definido como sendo o ângulo entre e (veja Figura 3 abaixo). Se as retas são paralelas o ângulo entre elas é igual a zero.

Figura 3 - Ângulo entre duas retas reversas: reta em vermelho e retas e em azul ; reta interceptando

Em particular, o ângulo entre duas retas têm sempre um valor entre 0 e , inclusive. Por esse motivo também, o ângulo entre duas retas não é necessariamente o ângulo entre os seus vetores direção, pois, dependendo da escolha dos vetores direção (há dois sentidos que podemos escolher), eles podem formam um ângulo obtuso. Mas, se esse for o caso, isto é, se na nossa escolha inicial de vetores direção para as duas retas tivermos escolhido dois vetores que formam um ângulo obtuso, basta reverter uma das escolhas e tomar o vetor no sentido oposto. Isso equivale a tomar o módulo do produto escalar. Portanto, o ângulo entre duas retas r e s cujos vetores direção são, respectivamente, e , é dado por

3 . Ângulo entre Dois Planos

Para entender como o ângulo entre dois planos é definido, gire o primeiro gráfico da Figura 4 de forma que os dois planos fiquem de perfil como no segundo gráfico da mesma figura, ou seja, de modo que eles sejam vistos como duas retas. O ângulo entre os planos é definido como o ângulo entre estas duas retas. Observe que os vetores representado nos gráficos são vetores normais aos respectivos planos (por esse motivo eles estão representados com a mesma cor).

Figura 4

Vamos examinar o gráfico na direita da Figura 4 com mais detalhe:

Figura 5 - Visão do gráfico da figura 4 de perfil. O ângulo representado pelo arco laranja é , o arco preto representa o ângulo e o arco verde .

Como os vetor azul é perpendicular à reta (plano) azul e o vetor vermelho é perpendicular à reta (plano) vermelha, temos

Portanto,

Concluímos que o ângulo entre dois planos é o ângulo entre as retas definidas por suas normais. Em outras palavras, se e são os vetores normais dos planos e , então o ângulo entre estes dois planos é dado por

4. Ângulo entre uma Reta e um Plano

O ângulo entre uma reta r e um plano , quando eles se interceptam em um ponto, é definido como sendo o menor ângulo possível entre todos os ângulos que a reta r faz com as retas contidas no plano que a interceptam. Este menor ângulo é realizado justamente pela reta do plano que é a projeção ortogonal da reta r (veja a Figura 6). Uma outra maneira de ver isso é dizer que o ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo mínimo entre o plano e a reta dentre todas as visões de perfil possíveis do plano (veja a Figura 7 e a discussão que a precede).

Se a reta nunca intercepta o plano ou está inteiramente contida no plano (isto é, ela é paralela ao plano), o ângulo entre a reta e o plano é igual a 0.

Figura 6- A reta r (em vermelho) forma um ângulo com o plano (em lilás) que é igual ao ângulo que ela faz com a sua projeção no plano (em azul).

A animação abaixo mostra a visão que se tem quando vemos todas as visões de perfil do plano da figura 6. Note como o ângulo entre a reta e o plano varia desde um valor mínimo, aumentando até passar por um valor máximo de 90 graus (ângulo reto), depois diminuindo até assumir o valor mínimo novamente. 

Figura 7 - Giro de 360 graus no gráfico da figura 7 com o plano visto em perfil.

No gráfico a seguir, o plano está na posição em perfil em que temos o menor ângulo possível (representado pelo arco em laranja). O vetor em lilás representa um vetor normal ao plano.

Figura 8 - Visão do plano em perfil, com o menor ângulo possível entre as retas. O arco laranja representa e o arco verde .

O ângulo é o ângulo entre a reta na direção do vetor N normal ao plano e o vetor direção v da reta r , ou seja

Como

segue que o ângulo entre a reta r e o plano é dado por