Probabilidade 3: Processos estocásticos contínuos

Prerequisitos: Probabilidade 1 e 2, Teoria da Medida.

• Introdução: Origem do movimento Browniano. Propriedades básicas.
• Processos Gaussianos: Vetores Gaussianos, matriz de covariânça. Caracterização. Processos Gaussianos, função de covariânça. Exemplos: movimento Browniano, ponte Browniana.
• Construções do movimento Browniano (MB): Via as distribuições de dimensão finita e o Teorema de Extensão de Kolmogorov. Via o passeio aleatório e o Teorema de Prohorov. Via construção por interpolação de P. Lévy.
• Propriedades básicas do MB: Invariância. Não-derivabilidade e Hölderianidade. Lei dos Grandes Números, variação quadrática. Filtrações e tempos de parada. Propriedade de Markov forte. Lei 0-1 de Blumenthal. O Princípio de reflexão, Lei do Arcseno. Mergulho de Skorohod e aplicações.
• Martingais em tempo contínuo (notas): Lembretes de alguns resultados para martingais em tempo discreto. Desigualdades fundamentais, Teorema de Doob. (Aplicação: a(s) Lei(s) do Logaritmo Iterado para o MB.) Teoria geral dos martingais em tempo contínuo. Regularização. Martingais fechados. Teorema da amostragem opcional. Aplicação: funçes harmônicas, recorrência do MB em dimensões 1 e 2, transiência em dimensões d≥3.
• Integração estocástica:
  • Motivação: equações diferenciais estocásticas. Lembrete: integral de Stieltjes com respeito a uma função de variação limitada. Problema com a integração com respeito ao MB: variação quadrática.
  • A Integral de Wiener em [0,1]. Isometria. Propriedade de martingal, modificação contínua. Aplicação: o processo de Ornstein-Uhlenbeck.
  • Martingais contínuos e decomposição de Doob: Variação quadrática, propriedades. Martingal local, compensador, propriedades.
  • Integral de Itô com respeito a um martingal local. Processos previsíveis. Isometria. Integrar processos previsíveis. Desigualdade de Kunita-Watanabe.
  • Integral de Itô com respeito a um martingal local contínuo. Propriedades. Fórmula de integração por partes.
  • A Fórmula de Itô.
  • Aplicação: Movimento Browniano e equações diferencais parciais. O problema de Dirichlet. Princípio do máximo. Equação do calor. Equação de Schrödinger e fórmula de Feynman-Kac.
  • Aplicação: O Teorema de Caracterização de P. Lévy.
  • Aplicação: O Teorema de Girsanov. Distribuição para tempos de primeira visita (MB).
  • Processos de Itô. Movimento Browniano geométrico e martingais exponenciais.
• Equações diferenciais estocásticas
  • Exemplos: 1) uma partícula browniana com atrito. Equação de Langevin e processo de Ornstein-Uhlenbeck (OU). 2) Crescimento de população e MB geométrico.
  • Equação diferencial estocástica e solução: definição. Exemplos. Condições que garantem existência e unicidade. Exemplos. Caso multi-dimensional. Difusões.
• Processos Markovianos em tempo contínuo: Definições. Equações de Chapman-Kolmogorov. Propagador, propriedade de semi-grupo. Gerador. Equação do calor generalizada. O gerador de uma difusão. Gerador e medida invariante, equação de Fokker-Planck. Exemplo: o processo de OU, medida de Gibbs.

Referências bibliográficas:

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• Kuo H.-H., Introduction to stochastic integration, Universitext, Springer, 2000.
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• Mörters P. and Peres Y., Brownian Motion, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge, 2010.
• Revuz D., Yor M.,Continuous martingales and Brownian motion, Grundlehren des mathematischen Wissenschaften, vol. 293, Springer, 2005.

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