Probabilidade 2: Processos Estocásticos Discretos

Prerequisitos: Probabilidade 1.

• Introdução: o passeio aleatório simples.
  • Recorrência e transiência, tempo de primeira volta.
  • Princípio de reflexão e Lei do Arcseno.
  • Grandes desvios: estimativa de Bernstein.
  • Lei do logaritmo iterado.
• Leis 0-1
  • Sistemas de Dynkin. O Teorema de Extensão de Kolmogorov.
  • Lei 0-1 de Kolmogorov. Aplicações.
  • Lei 0-1 de Hewitt-Savage. Aplicações.
• Cadeias de Markov
  • Definições: matriz de transição, propriedade de Markov. Existência. Exemplos: passeio aleatório em grafo, modelo de Ehrenfest, cadeia de nascimento e morte, o processo de ramificaço.
  • Recorrência, transiência e classificação. Estados recorrentes positivos e recorrentes nulos.
  • Equilíbrio, medidas invariantes. Convergência para o equilíbrio, accoplamento, cadeias aperiódicas. O Teorema ergódico.
• Martingais
  • Definição e propriedades básicas, transformadas. A ruina do apostador.
  • Exemplos: passeio aleatório, processo de ramificação, quociente de verossimilhança.
  • O Teorema da amostragem opcional. Aplicações: a ruina do apostador, "the first run of three sixes", o problema da secretária.
  • Desigualdade de Doob, desigualdade L^p. Convergêcia para martingais L²-limitados.
  • Teoremas de convergêcia. O número de subidas, Teorema básico de convergência. Martingais L1-limitados. Martingais fechados e uniformemente integráveis. O Teorema de Lévy para martingais reversos. Aplicações: Lei Forte dos grandes números.
  • Decomposição de Doob. Aplicação: uma versão do Lema de Borel-Cantelli.
  • O Teorema Central do Limite para martingais.
  • Aplicações: Explosão na fase supercrítica do processo de ramificação, uma prova probabilística do Teorema de Radon-Nikodým.
  • Martingais e cadeias de Markov. Funções harmônicas, subharmônicas, superharmônicas. Aplicações: critério de recorrência para cadeias de nascimento e morte, transiência do passeio simples em dimensões d≥3.
• Processos estacionários
• Definições básicas: transformação, medida invariante, medida ergódica. Exemplos: a medida de Lebesgue, o shift de Bernoulli, a transformação de Gauss. Ergodicidade e caracterizações.
• O Teorema Ergódico de Birkhoff. Aplicações: a Lei dos Grandes Números, números normais.
• Estrutura das medidas invariantes. Medidas extremais e ergodicidade. O Teorema de decomposição convexa (segundo Dynkin).
• Cadeias de Markov estacionárias:
• Convergência fraca
• Motivação: passeio aleatório e movimento Browniano.
• Medidas de probabilidades em espaços métricos.
• Convergência fraca: definição e critérios. Classes determinantes. Teorema de Portmanteau, Teorema de Prohorov.
• Um caso particular: C[0,1]. Caracterização da convergência fraca.
• Construção da medida de Wiener e Princípio de Invariânça de Donsker.

Listas de Exercícios:

• Lista 1 (pdf): O passeio aleatório simples. Entrega: 22/3.
• Lista 2 (pdf): Leis 0-1. Entrega: 30/3.
• Lista 3 (pdf): Cadeias de Markov, parte 1. Entrega: 17/4.
• Lista 4 (pdf): Cadeias de Markov, parte 2. Entrega: 1/5.
• Lista 5 (pdf): Cadeias de Markov, parte 3. Entrega: 11/5.
• Lista 6 (pdf): Martingais, parte 1. Entrega: 28/5.
• Lista 7 (pdf): Martingais, parte 2. Entrega: 11/6.
• Lista 8 (pdf): Martingais, parte 3. Entrega: 22/6.

Arquivos diversos:

• Sistemas de Dynkin (pdf)
• Cadeias de Markov (pdf)

Referências bibliográficas:

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• Billingsley P., Ergodic Theory and Information, Wiley, New York, 1965.
• Billingsley P., Convergence of probability measures, Wiley, New York, 1968.
• Billingsley P., Probability and measure, Wiley, New York, 1995.
• Durrett R., Probability: theory and examples, Duxbury Press, 1988.
• Gihman I.I. and Skorohod A.V., The Theory of Stochastic Processes, Volumes 1 and 2, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 1971
• Grimmett G. and Stirzaker D.R., Probability and random processes, Oxford University Press, 2005.
• Kuipers L. and Niederreiter H., Uniform distribution of sequences, Dover, 1974.
• Neveu J., Chaînes de Markov, Textos de matemática, Universidade Federal de Pernambuco, 1970.
• Petersen K., Ergodic Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2000.
• Shiryaev A.N., Probability, Springer-Verlag, 1984.
• Stroock D., Probability theory: an analytic view, Cambridge University Press, 1993.
• Varadhan S.R.S., Probability Theory, Courant Lecture Notes, 2000.
• Walters P., Ergodic Theory, Introductory Lectures, Lecture Notes in Mathematics, vol. 458, 1975.
• Williams D., Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991.

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