Cálculo Diferencial e Integral II - MAT-039

Projetos

2o Semestre de 1998

Esta é uma listagem preliminar de mini projetos associados ao curso de Cálculo II, outros virão. Os enunciados abaixo contem apenas as linhas gerais dos problemas. Procure Sylvie (ou seu professor) para maiores informações ou bibliografia complementar.

1  Sequências e Séries

1.1  Conjunto de Cantor

O Conjunto de Cantor é o conjunto de pontos obtidos retirando-se do intervalo [0,1] sucessivamente todos os terços médios  como se segue. Primeiramente, tiramos de [0,1] o intervalo aberto (1/3,2/3) de comprimento l1 = 1/3. Assim dois intervalos [0,1/3] e [2/3,1] permanecem. A seguir retiramos o terço médio  de cada um destes intervalos menores, retirando os intervalos (1/9,2/9) e (7/9,8/9). Cada terço médio  removido neste segundo estágio tem comprimento l2 = 1/9. No k-ésimo passo, são retirados Nk intervlos, cada um com comprimento lk. O Conjunto de Cantor é o conjunto dos pontos do intervalo [0,1] que permanecem no limite deste processo.

  1. Faça um desenho ilustrando a contrução do Conjunto de Cantor

  2. Expresse Nk e lk como função de k.

  3. Calcule a soma dos comprimentos dos intervalos retirados

  4. Mostre que o conjunto de cantor não é vazio, isto é que existem pontos que não são retirados neste processo.

  5. Se expressarmos os números do intervalo [0,1] na base 3, este processo pode ser sistematizado mais facilmente. Descreva este processo e tente identificar os pontos que são retirados.

1.2   Curva de Koch

A Curva de Koch é uma curva plana, definida recursivamente. Considere um segmento de tamanho 1 e após dividi-lo em três partes iguais, retire o segmento do meio, colocando em seu lugar dois segmentos de tamanho igual ao retirado e que formam com este um triângulo equilátero. Este processo é entao repetido com cada um dos segmentos restantes.

  1. Ilustre o processo

  2. Calcule o comprimento da Curva de Koch

Um modelo para flocos de neve pode ser contruí do fazendo o processo acima em cada um dos lados de um triângulo equilátero.

1.3   Rosácea de quadrados

Uma figura geométrica é construí da por uma sequências de quadrados. No primeiro estágio, é desenhado um quadrado de lado a1. No interior deste quadrado é desenhado um segundo quadrado unindo-se os 4 pontos que estao a uma distância a1/4 do vértice à esquerda, fixado o sentido anti-horário. Denotamos por a2 o comprimento dos lados deste segundo quadrado. Assim sucessivamente são desenhados quadrados um dentro do outro, cada um com lado ak.

  1. Faça um desenho.

  2. Ache uma relação entre ak+1 e ak.

  3. Calcule o limite dos comprimentos dos lados, dos perí metros e das áreas.

  4. Calcule a soma das áreas e a soma dos perí metros.

1.4   Bola Quicando 1 ( ou Bola Quicando 2 )

Uma bola de borracha é solta de uma altura h. Sobre ela atua apenas o peso. Devido à perda de energia em deformação, cada vez que ela toca o solo ela rebate com uma velocidade que é de 2/3 da velocidade com que ela estava antes do choque.

  1. Que altura a bola alcança após cada choque com o solo?

  2. Quanto tempo é decorrido entre dois choques consecutivos?

  3. Mostre que a bola pára após um tempo finito.

  4. Qual a distância total percorrida pela bola?

  5. Em que os resultados seriam diferentes se esta experiência fosse realizada na lua?

1.5  Método de Newton - Exemplos

O método de Newton faz uso de aproximações lineares para produzir uma sequência que converge para a solução da equação f(x) = 0. Seja x0 um chute inicial. Tentamos corrigir este chute por uma quantidade Dx de tal maneira que f(x0 + Dx) = 0. Certamente, esta equação não apresenta nenhuma vantagem sobre a primeira. No entanto, podemos resolver um problema mais fácil, que consiste em trocar f por sua aproximação linear em x0, o que gráficamente significa trocar o gráfico de f pelo de sua reta tangente em x0 e então obter uma aproximação para Dx. O processo pode então ser repetido tomando como novo chute inicial x1 = x0+ Dx.

  1. Ache as equações que determinam a seqûencia.

  2. Utilize o método acima para calcular a raiz quadrada de 2.

  3. Use o método de Newton para achar uma raiz de x5 - x4 -x +2. Compare o que acontece com diferentes valores do chute inicial, por exemplo x0 = 1 e x0 = -2. (Faça o gráfico da função).

  4. Mostre que se o método de Newton converge, então ele converge para uma raiz.

1.6  Método de Newton - Teoria

O método de Newton para resolver a equação f(x) = 0 pode ser descrito dizendo que xn+1 = N(xn), onde N(x) = x - f(x)/Df(x) é definida para todo x tal que Df(x) não é 0.

  1. Mostre que N(x) = x se e somente se f(x) = 0.

  2. Mostre que DN(x) = f(x) D2 f(x)/[Df(x)]2.

  3. Suponha que x* seja um raiz de f, que [a,b] seja um intervalo contendo x* e que existam números p e q e M tais que 0 < p < = Df(x) < = q e que | D2 f(x)| < = M para todo x em [a,b]. Mostre que exite uma constante C, que depende de p, q e M e tal que | N(x) - x*| < = C | x - x*|. Expresse C em termos de p, q e M. Isto estabelece a convergência quadrática da sequência x0, x1, ... para x* assim que algum xk esteja em [a,b].
    (Dica: Aplique o teorema do valor médio a N(x) para concluir que N(x) -x* = DN(c) (x - x*) para algum c entre x e x*. Use o teorema do valor médio de novo para mostrar que | DN(c)| < = E |c| para uma constante E > 0.)

  4. Quantas iterações são necessárias para resolver x2 - 2 = 0 com uma precisão de 20 casas decimais, assumindo um chute inicial no intervalo [1.4,1.5]?

1.7  Um pássaro entre dois trens

Dois trens a uma distância inicial de 12 milhas, trafegam sobre a mesma linha Leste-Oeste, um de encontro ao outro, com velocidade constante. O que vem do leste, tem uma velocidade de 5 milhas/hora e o que vem do oeste, uma velociade de 7 milhas por hora. Um pássaro viaja constantemente de um trem a outro até que os dois trens se encontrem. Sua velocidade é de 20 milhas por hora e ele começa sua viagem do leste.

  1. Assuma que o pássaro reverte sua direção instantaneamente a cada encontro com um trem. Expresse o tempo levado pelo pássaro em cada viagem de um trem a outro.

  2. Calcule o tempo que os trens levam para se encontrar e mostre que este tempo é o mesmo que a soma dos tempos das idas e vindas do pássaro.

1.8  Pilhas triangulares de cí rculos

Considere um número conveniente de cí rculos de tamanhos iguais agrupados em n fileiras dentro de um triângulo equilátero. Calcule a razão entre a área do triângulo e a soma das áreas dos cí rculos no limite que o número de círculos, e portanto o número de fileiras n tende para infinito. (Faça um desenho).

1.9  O número e

Mostre que (1 + 1/n)n converge para e quando n cresce. Utilizando este resultado mostre que 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! também converge para e.

1.10  Processos Iterativos

Se f é uma função diferenciável, então a sequência { xn } definida pela recorrência xk+1 = f(xk) convergirá qualquer que seja x0, se a derivada Df for contí nua e se | D f (x) < = B < 1 | para alguma constante B.

  1. Considere f(x) = a x (1-x) definida para 0 < = x < = 1, para valores de 0 < a < = 4. Experimente numéricamente o que acontece com as sequências { xn } para vários valores de x0 e valores de a como por exemplo a = 0.5, a = 1, etc. Faça gráficos de f(x) para cada valor de a e observe com eles o comportamento das sequências. (Uma boa idéia é traçar a diagonal como referência...).

  2. Demonstre o resultado enunciado acima e explique suas observações do item 1 com base nele.

File translated from TEX by TTH, version 1.55.